Question

数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），n∈N^*．
（Ⅰ）证明：数列{

an

n

}是等差数列；
（Ⅱ）设b_n=3ⁿ•

an

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：

分析：（Ⅰ）将na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1）的两边同除以n（n+1）得

an+1

n+1

=

an

n

+1，由等差数列的定义得证．
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出b_n=3ⁿ•

an

=n•3ⁿ，利用错位相减求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 证明（Ⅰ）∵na_n+1=（n+1）a_n+n（n+1），
∴

an+1

n+1

=

an

n

+1，
∴

an+1

n+1

-

an

n

=1，
∴数列{

an

n

}是以1为首项，以1为公差的等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

an

n

=1+(n-1)•1=n，
∴an=n2，
b_n=3ⁿ•

an

=n•3ⁿ，
∴Sn=1×3+2×32+3×33+…+(n-1)•3^n-1+n•3ⁿ①
3Sn=1×32+2×33+3×34+…+(n-1)•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹②
①-②得-2Sn=3+32+33+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=

3-3n+1

1-3

-n•3n+1
=

1-2n

2

•3n+1-

3

2

∴Sn=

2n-1

4

•3n+1+

3

4

点评：本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法．求和的关键是求出通项选方法．