Question

设椭圆 ：（）的一个顶点为，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率 ，过椭圆右焦点 的直线  与椭圆 交于 ， 两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线 ，使得 ，若存在，求出直线  的方程；若不存在，说明理由；

Answer 1

（1） （2）或

本试题主要考查了椭圆的方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的运用。（1）中椭圆的顶点为，即又因为，得到，然后求解得到椭圆方程（2）中，对直线分为两种情况讨论，当直线斜率存在时，当直线斜率不存在时，联立方程组，结合得到结论。
解：（1）椭圆的顶点为，即
，解得， 椭圆的标准方程为 --------4分
（2）由题可知,直线与椭圆必相交.
①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．                    --------5分
②当直线斜率存在时，设存在直线为，且，.
由得，       ----------7分
，，               

= 
所以，                               ----------10分
故直线的方程为或 
即或