Question

1．定理：若函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称，且方程f（x）=0有n个根，则这n个根之和为na（n∈N^*）．
利用上述定理，求解下列问题：
（1）已知函数g（x）=sin2x+1，x∈[-$\frac{5π}{2}$，4π]，设函数y=g（x）的图象关于直线x=a对称，求a的值及方程g（x）=0的所有根之和；
（2）若关于x的方程2x⁴+2^x+2^-x-cosx-m²=0在实数集上有唯一的解，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据定义域和对称性即可得出a的值，求出g（x）=0的解的个数，利用定理得出所有根的和；
（2）令h（x）=2x⁴+2^x+2^-x-cosx-m²，则h（x）为偶函数，于是h（x）的唯一零点为x=0，于是h（0）=0，即可解出m的值．

解答 解：（1）∵g（x）在[-$\frac{5π}{2}$，4π]上的图象关于直线x=a对称，
∴a=$\frac{-\frac{5π}{2}+4π}{2}$=$\frac{3π}{4}$，
令g（x）=0得sin2x=-1，2x=-$\frac{π}{2}$+2kπ，即x=-$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z．
∴g（x）在[-$\frac{5π}{2}$，4π]上有7个零点，
∴方程g（x）=0的所以根之和为7×$\frac{3π}{4}$=$\frac{21π}{4}$．
（2）令h（x）=2x⁴+2^x+2^-x-cosx-m²，则h（-x）=2x⁴+2^-x+2^x-cosx-m²=h（x），
∴h（x）是偶函数，
∴h（x）的图象关于y轴对称，即关于直线x=0对称，
∵h（x）=0只有1解，
∴h（x）=0的唯一解为x=0，即h（0）=0，
∴0+1+1-1-m²=0，解得m=±1．

点评 本题考查了函数零点与函数图象对称性的关系，属于基础题．