Question

4．已知函数f（x）=x²+2ax+2lnx（a∈R），g（x）=2e^x+3x²（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象有两个不同的交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，f′（x）=$\frac{2}{x}$+2x+2=$\frac{{2x}^{2}+2x+2}{x}$（x＞0），f（x）在x=1处的切线方程的斜率k=f′（1）=6，又f（1）=3，可求得在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）令f（x）=g（x），可得2lnx+x²+2ax=2e^x+3x²，即ax=e^x+x²-lnx，分离参数a得：a=$\frac{{e}^{x}{+x}^{2}-lnx}{x}$，再令φ（x）=$\frac{{e}^{x}{+x}^{2}-lnx}{x}$（x＞0），利用导数可判断函数的单调性与取值范围，从而可求得实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x²+2x+2lnx，
f′（x）=$\frac{2}{x}$+2x+2=$\frac{{2x}^{2}+2x+2}{x}$（x＞0），f′（1）=6，f（1）=3，
则在x=1处的切线方程为y-6x+3=0…（4分）
（Ⅱ）令f（x）=g（x），得2lnx+x²+2ax=2e^x+3x²，即ax=e^x+x²-lnx，
∵x＞0，∴a=$\frac{{e}^{x}{+x}^{2}-lnx}{x}$，…（6分）
令φ（x）=$\frac{{e}^{x}{+x}^{2}-lnx}{x}$（x＞0），
φ′（x）=$\frac{{（e}^{x}-\frac{1}{x}+2x）x-{（e}^{x}{+x}^{2}-lnx）}{{x}^{2}}$=$\frac{{e}^{x}（x-1）+lnx+（x-1）（x+1）}{{x}^{2}}$，…（8分）
∵x＞0，∴x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，φ（x）为减函数；
x∈（1，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）为增函数，∴φ（x）≥φ（1）=e+1，
当x→0时，φ（x）→+∞，当→+∞时，φ（x）→+∞，
∵函数y=f（x）图象与函数y=g（x）图象有两个不同交点，
∴实数a的取值范围为（e+1，+∞）…（12分）

点评 本题考查利用导数研究闭区间上函数的最值及曲线上某点的切线方程，考查等价转化思想与构造函数法、分离参数法的综合运用，属于难题．