Question

9．在极坐标系下，已知曲线C₁：ρ=cosθ+sinθ和曲线C₂：ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求曲线C₁和曲线C₂的直角坐标方程；
（2）当θ∈（0，π）时，求曲线C₁和曲线C₂公共点的一个极坐标．

Answer 1

分析 （1）由曲线C₁的极坐标方程转化为ρ²=ρcos θ+ρsin θ，由此能求出曲线C₁的直角坐标方程；曲线C₂极坐标方程转化为ρsin θ-ρcos θ=1，由此能求出曲线C₂的直角坐标方程．
（2）联立曲线C₁和曲线C₂的直角坐标方程，能求出曲线C₁和曲线C₂公共点的直角坐标，由此能求出曲线C₁和曲线C₂公共点的一个极坐标．

解答 解：（1）∵曲线C₁：ρ=cos θ+sin θ，即ρ²=ρcos θ+ρsin θ，
∴曲线C₁的直角坐标方程为：x²+y²=x+y，即x²+y²-x-y=0，
∵曲线C₂：ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即ρsin θ-ρcos θ=1，
则曲线C₂的直角坐标方程为：y-x=1，即x-y+1=0．…（5分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-x-y=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴曲线C₁和曲线C₂公共点的直角坐标为（0，1），
∴曲线C₁和曲线C₂公共点的一个极坐标为（1，$\frac{π}{2}$）．…（10分）

点评 本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查曲线的交点的极坐标的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．