Question

14．已知数列{a_n}满足：a₁=1，${a_{n+1}}={a_n}+\frac{{{a_n}^2}}{{{{（n+1）}^2}}}$（n∈N^*）
（Ⅰ）求证：a_n≥1；
（Ⅱ）证明：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≥1+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$
（Ⅲ）求证：$\frac{2（n+1）}{n+3}$＜a_n+1＜n+1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用数列的递推关系式，通过数列的单调性，推出a_n≥1；
（Ⅱ）利用放缩法证明：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$≥1+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论推出不等式，化简所求的表达式，转化推出结果即可．

解答 证明：（I）数列{a_n}满足：a₁=1，${a_{n+1}}={a_n}+\frac{{{a_n}^2}}{{{{（n+1）}^2}}}$（n∈N^*），
可得：${a_{n+1}}-{a_n}=\frac{{{a_n}^2}}{{{{（n+1）}^2}}}≥0$，
⇒a_n+1≥a_n≥a_n-1≥…≥a₁=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=1+\frac{a_n}{{{{（n+1）}^2}}}≥1+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}$；
（Ⅲ）$\frac{{{a_{n+1}}-{a_n}}}{{{a_{n+1}}{a_n}}}=\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}$，
由（Ⅱ）得：$0＜\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}＜1$，
所以$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}＜\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}＜\frac{1}{（n+1）n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
累加得：$\frac{1}{a_1}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}＜1-\frac{1}{n+1}⇒{a_{n+1}}＜n+1$，
另一方面由a_n≤n可得：原式变形为$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=1+\frac{a_n}{{{{（n+1）}^2}}}≤1+\frac{n}{{{{（n+1）}^2}}}＜1+\frac{1}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}⇒\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}＞\frac{n+1}{n+2}$，
所以：$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}＞\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}\frac{n+1}{n+2}=\frac{1}{（n+1）（n+2）}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
累加得$\frac{1}{a_1}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}＞\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}⇒{a_{n+1}}＞\frac{2（n+1）}{n+3}$．

点评 本题考查数列与不等式的应用，数列与函数的性质，考查s思想以及计算能力．