Question

20．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$与抛物线y²=2px（p＞0）共焦点F₂，抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF₂|-1，且椭圆与抛物线的交点Q满足|QF₂|=$\frac{5}{2}$．
（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程；
（Ⅱ）过抛物线上的点P作抛物线的切线y=kx+m交椭圆于A、B两点，求此切线在x轴上的截距的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由抛物线的性质，求得x=-1是抛物线y²=2px的准线，则$-\frac{p}{2}=-1$，求得p的值，求得焦点坐标，代入抛物线方程求得Q点坐标，利用椭圆的定义，即可求得a的值，由b²=a²-c²=8，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）将直线分别代入抛物线，由△=0，求得km=1，将直线方程代入椭圆方程，求得△＞0，代入即可求得m的取值范围，切线在x轴上的截距为$x=-\frac{m}{k}$，又$-\frac{m}{k}=-{m^2}＞-9$，即可求得切线在x轴上的截距的取值范围．

解答 解：（I）∵抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF₂|-1，
∴点M到直线x=-1的距离等于点M到焦点F₂的距离，---------------（1分）
得x=-1是抛物线y²=2px的准线，即$-\frac{p}{2}=-1$，
解得：p=2，
∴抛物线的方程为y²=4x；-----------------------------------（3分）
可知椭圆的右焦点F₂（1，0），左焦点F₁（-1，0），
由抛物线的定义及$|Q{F_2}|=\frac{5}{2}$，得${x_Q}+1=\frac{5}{2}$，
又${y_Q}^2=4{x_Q}$，解得：$Q（\frac{3}{2}，\;±\sqrt{6}）$，-----------------------------------（4分）
由椭圆的定义得2a=|QF₁|+|QF₂|=$\frac{7}{2}+\frac{5}{2}=6$，----------------------（5分）
∴a=3，又c=1，得b²=a²-c²=8，
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$．-------------------------------------------------（6分）
（ II）显然k≠0，m≠0，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$，消去x，得ky²-4y+4m=0，
由题意知△₁=16-16km=0，得km=1，-----------------------------------（7分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1}\end{array}}\right.$，消去y，得（9k²+8）x²+18kmx+9m²-72=0，
其中${△_2}={（18km）^2}-4$（9k²+8）（9m²-72）＞0，
化简得9k²-m²+8＞0，-------------------------------------------------------（9分）
又$k=\frac{1}{m}$，得m⁴-8m²-9＜0，解得0＜m²＜9，--------------------（10分）
切线在x轴上的截距为$x=-\frac{m}{k}$，又$-\frac{m}{k}=-{m^2}＞-9$，
∴切线在x轴上的截距的取值范围是（-9，0）．----------------------------------（12分）

点评 本题考查椭圆及抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线及椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．