Question

3．己知对所有实数x，不等式x²log₂$\frac{2（a-1）}{a}$+2xlog₂$\frac{2a}{a-1}$+log₂$\frac{（a-1）^{2}}{4{a}^{2}}$＜0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 设log₂$\frac{a-1}{a}$=t，将不等式转化为参数为t的二次不等式，根据一元二次不等式的性质列不等式组解出t的范围，再得出a的范围．

解答 解：设log₂$\frac{a-1}{a}$=t，则log₂$\frac{2（a-1）}{a}$=1+t，log₂$\frac{2a}{a-1}$=1-t，log₂$\frac{（a-1）^{2}}{4{a}^{2}}$=2log₂$\frac{a-1}{2a}$=2（t-1），
∵不等式x²log₂$\frac{2（a-1）}{a}$+2xlog₂$\frac{2a}{a-1}$+log₂$\frac{（a-1）^{2}}{4{a}^{2}}$＜0恒成立
等价于（1+t）x²+2（1-t）x+2（t-1）＜0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+t＜0}\\{4（1-t）^{2}-8（1+t）（t-1）＜0}\end{array}\right.$，解得t＜-3．
∴log₂$\frac{a-1}{a}$＜-3，
∴0＜$\frac{a-1}{a}$＜$\frac{1}{8}$，解得1＜a＜$\frac{8}{7}$．

点评 本题考查了二次函数恒成立问题研究，对数的运算性质，不等式的解法，属于中档题．