Question

19．已知函数f（x）=（ax+2）lnx-（x²+ax-a-1）（a∈R）
（ I）若函数f（x）的图象在x=e处的切线的斜率为$\frac{2}{e}$-2e，求f（x）的极值；
（ II）当x＞1时，f（x）的图象恒在x轴下方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义即可求出a的值，再根据导数和函数极值的关系即可求出，
（Ⅱ）先求导，再构造g（x）=alnx-2x+$\frac{2}{x}$，利用导数求出函数的最值，根据函数的最值即可判断f（x）的图象是否恒在x轴下方

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=$\frac{ax+2}{x}$+alnx-（2x+a）=alnx-2x+$\frac{2}{x}$，x＞0，
∴f′（e）=a-2e+$\frac{2}{e}$=$\frac{2}{e}$-2e，
∴a=0，
∴f（x）=2lnx-x²+
∴f′（x）=$\frac{2}{x}$-2x=$\frac{2-2{x}^{2}}{x}$=-$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得0＜x＜1，函数f（x）递增，
令f′（x）＜0，解得x＞1，函数f（x）递减，
∴f（x）_极大值=f（1）=0，无极小值，
（2）由（1）可知f′（x）=alnx-2x+$\frac{2}{x}$，x＞0，
令g（x）=alnx-2x+$\frac{2}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{a}{x}$-2-$\frac{2}{{x}^{\;}}$=$\frac{1}{x}$（a-2x-$\frac{2}{x}$），
当x＞1时，x+$\frac{1}{x}$＞2，有a-2x-$\frac{2}{x}$＜a-4，
①若a-4≤0，即a≤4时，g′（x）＜0，故g（x）在区间（1，+∞）上单调递减，
则当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，即f′（x）＜0，故f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，
故当x＞1时，f（x）＜f（1）=0，
故当a≤4，x＞1时，f（x）的图象恒在x轴的下方，
②若a-4＞0，即a＞4时，令g′（x）＞0，可得1＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$，
故g（x）在区间（0，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$）上单调递减，
故当1＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$时，g（x）＞g（1）=0，
故f（x）在区间（1，$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$）上单调递增，
故当1＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-16}}{4}$时，f（x）＞f（1）=0，
故当a＞4，x＞1时，函数f（x）的图象不可恒在x轴下方，
综上可知，a的取值范围是（-∞，4]．

点评 本题考查利用导数求函数的最值以及极值和关系，以及导数的几何意义，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题