Question

4．若函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-mx+lnx有极值，则函数f（x）的极值之和的取值范围是（-∞，-3）．

Answer 1

分析 先求导，方程x²-mx+1=0在（0，+∞）上有根求出m的范围，根据韦达定理即可化简f（x₁）+f（x₂），根据m的范围即可求出．

解答 解：∵f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=x-m+$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-mx+1}{x}$，
∵f（x）存在极值，
∴f′（x）=0在（0，+∞）上有根，
即方程x²-mx+1=0在（0，+∞）上有根．
设方程x²-mx+1=0的两根为x₁，x₂，
∴△=m²-4＞0，x₁+x₂=m＞0，x₁x₂=1
即m＞2
∴f（x₁）+f（x₂）=$\frac{1}{2}$（x₁²+x₂²）-m（x₁+x₂）+（lnx₁+lnx₂），
=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）²-x₁x₂-m（x₁+x₂）+lnx₁x₂，
=$\frac{1}{2}$m²-1-m²，
=-$\frac{1}{2}$m²-1＜-3，
故函数f（x）的极值之和的取值范围是（-∞，-3）
故答案为：（-∞，-3）

点评 本题考查了导数函数极值的关系，以及韦达定理及二次函数的性质，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题