Question

14．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点P是线段BD₁的中点，M是线段B₁C₁上的动点，则三棱锥M-PBC的体积为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 利用直线与平面平行，转化所求几何体的体积为同底面高相等的棱锥的体积，即可求出三棱锥M-PBC的体积．

解答 解：∵棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
P、M分别为线段BD₁，B₁C₁上的点，BP=PD₁，因为几何体是正方体，所以B₁M∥BC，
∴M到面PBC的距离与B₁到面PBC的距离相等，三棱锥M-PBC的体积，
转化为：三棱锥P-B₁BC的体积，正方体的棱长为2，
BP=PD₁，P到平面B₁BC的距离为：1，
∴V_M-PBC=${V}_{P-B{B}_{1}C}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2$=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题，考查转化思想的应用．