Question

6．已知a，b，c为正实数，且a+b+c=3，证明：$\frac{{c}^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$≥3．

Answer 1

分析 由基本不等式，得$\frac{{c}^{2}}{a}$+a≥2c，$\frac{{a}^{2}}{b}$+b≥2a，$\frac{{b}^{2}}{c}$+c≥2b，相加即可证明．

解答 证：因为a，b，c为正实数，
所以由基本不等式，得$\frac{{c}^{2}}{a}$+a≥2c，$\frac{{a}^{2}}{b}$+b≥2a，$\frac{{b}^{2}}{c}$+c≥2b，当且仅当a=b=c=1时取等号
三式相加，得：$\frac{{c}^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$≥a+b+c．
又a+b+c=3，
所以$\frac{{c}^{2}}{a}$+$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$≥3．

点评 本题考查了不等式的证明，关键是掌握基本不等式成立的条件，一正二定三相等，属于中档题