已知F1.F2分别是椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点.离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.点P在椭圆C上.且点P在x轴上的正投影恰为F1.在y轴上的正投影为点(0.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$)．(1)求椭圆C的方程,(2)过点F1且倾斜角为$\frac{5π}{6}$的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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11．已知F₁、F₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，点P在椭圆C上，且点P在x轴上的正投影恰为F₁，在y轴上的正投影为点（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F₁且倾斜角为$\frac{5π}{6}$的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点P且平行于直线l的直线交椭圆C于另一点Q，求证：四边形PABQ为平行四边形．

分析（1）由椭圆的离心率公式求得a=$\sqrt{3}$c，求得P点坐标，代入椭圆方程，即可求得b的值，a²=b²+c²，求得a和c的值，求得椭圆方程；
（2）由题意可知求得直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式，即可求得丨AB丨，由PQ∥AB，求得PQ的方程，代入椭圆方程，即可求得丨PQ丨，由丨PQ丨=丨AB丨，即可求得四边形PABQ为平行四边形．

解答解：（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则a=$\sqrt{3}$c，
由题意可知P（-c，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），代入椭圆方程：$\frac{{c}^{2}}{3{c}^{2}}+\frac{4}{3{b}^{2}}=1$，解得：b²=2，
由a²=b²+c²，则3c²=2+c²，则c²=1，则a²=3，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）证明：由F₁（-1，0），倾斜角为$\frac{5π}{6}$的直线斜率k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则直线l的方程为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：3x²+2x-5=0，
故x₁+x₂=-$\frac{2}{3}$，x₁x₂=-$\frac{5}{3}$，
∴丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+（-\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$×$\sqrt{（-\frac{2}{3}）^{2}-4×（-\frac{5}{3}）}$=$\frac{16\sqrt{3}}{9}$，
∵P（-1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），PQ∥AB，
∴直线PQ的方程为y-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y-\frac{2\sqrt{3}}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得3x²-2x-5=0，
∵x_P=-1，则x_P=$\frac{5}{3}$，
∴丨PQ丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$丨x_P-x_Q丨=$\frac{16\sqrt{3}}{9}$，
∴丨PQ丨=丨AB丨=$\frac{16\sqrt{3}}{9}$，
∴四边形PABQ为平行四边形．

点评本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．

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A．

y²=4x

B．

y²=8x

C．

y²=12x

D．

y²=16x

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（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+m相交于P，Q两点，且满足：①OP与OQ（O为坐标原点）的斜率之和为2；②直线l与圆x²+y²=1相切．若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

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