Question

5．已知双曲线${C_1}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$与双曲线${C_2}：{x^2}-\frac{y^2}{2}=1$的离心率相同，双曲线C₁的左、右焦点分别为F₁，F₂，M是双曲线C₁的一条渐近线上的点，且OM⊥MF₂，若△OMF₂的面积为$2\sqrt{2}$，则双曲线C₁的实轴长是（　　）

• A． 32
• B． 16
• C． 8
• D． 4

Answer 1

分析 求出双曲线${C_2}：{x^2}-\frac{y^2}{2}=1$的离心率，可得双曲线${C_1}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率e，求出双曲线C₁的渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得|MF₂|，运用勾股定理可得|OM|，由三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，即可得到所求实轴长．

解答 解：双曲线${C_2}：{x^2}-\frac{y^2}{2}=1$的离心率为$\frac{\sqrt{1+2}}{1}$=$\sqrt{3}$，
可得双曲线${C_1}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
双曲线${C_1}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
可得|MF₂|=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
即有|OM|=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=a，
由△OMF₂的面积为$2\sqrt{2}$，可得$\frac{1}{2}$ab=2$\sqrt{2}$，
由c=$\sqrt{3}$a，可得b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
则a²=4，即a=2．即有2a=4．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查点到直线的距离公式，以及三角形的面积公式的运用，化简整理的运算能力，属于中档题．