Question

20．已知直线l与曲线y²=4x（y≥0）交于A，D两点（A在D的左侧），A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|=2．
（Ⅰ）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的斜率；
（Ⅱ）记△OAD的面积为S₁，梯形ABCD的面积为S₂，求$\frac{S_1}{S_2}$的范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由B的坐标，可得A的坐标，又|BC|=2，可得D的坐标（3，2$\sqrt{3}$），运用直线的斜率公式，即可得到所求值；
（Ⅱ）法一：设直线AD的方程为y=kx+m．M（0，m），运用三角形的面积公式可得S₁=|m|，将直线方程和抛物线的方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及梯形的面积公式可得S₂，进而得到所求范围；法二：设直线AD的方程为y=kx+m，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式可得三角形的面积S₁=|m|，梯形的面积公式可得S₂，进而得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）由 B（1，0），则 A（1，y ₁），代入y²=4x，得到y₁=2，
又|BC|=2，则x₂-x₁=2，则x₂=3，
代入y²=4x，得到y₂=2$\sqrt{3}$，
∴k_AD=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{2\sqrt{3}-2}{2}$=$\sqrt{3}$-1，
直线AD的斜率$\sqrt{3}$-1；
（Ⅱ）方法一：设直线 AD的方程为 y=kx+m，与 y轴交点为M（0，m），
则S₁=S_△OMD-S_△OMA=$\frac{1}{2}$|m（x₂-x₁）|=|m|．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
所以△=（2km-4）²-4k²m²=16-16km＞0，
x₁+x₂=-$\frac{2km-4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}}$．
又S₂=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）|x₂-x₁|=y₁+y₂=kx₁+m+kx₂+m=$\frac{4}{k}$，
又y₁y₂=$\frac{km}{4}$＞0，所以k＞0，m＞0，
∴$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{m}{4k}$=$\frac{m}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{km}{4}$，
由△=16-16km＞0，则0＜km＜1，
∴$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{km}{4}$＜$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{S_1}{S_2}$的取值范围（$\frac{1}{4}$，+∞）．
方法二：设直线AD的方程为y=kx+m．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
所以△=（2km-4）²-4k²m²=16-16km＞0，
x₁+x₂=-$\frac{2km-4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}}$．
|AD|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
点O到直线AD的距离为d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，则S₁=$\frac{1}{2}$|AD|•d=|m|．
又S₂=$\frac{1}{2}$ （y₁+y₂）|x₂-x₁|=y₁+y₂=kx₁+m+kx₂+m=$\frac{4}{k}$，
又y₁y₂=$\frac{4m}{k}$＞0，则k＞0，m＞0，
∴$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{m}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{km}{4}$，
因为△=16-16km＞0，则0＜km＜1，
$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{km}{4}$＜$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{S_1}{S_2}$的取值范围（$\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 本题考查抛物线的方程和运用，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用判别式大于0和韦达定理及弦长公式，考查点到直线的距离公式和三角形的面积和梯形的面积的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．