Question

11．函数f（x）=2cos$\frac{ωx}{2}$（sin$\frac{ωx}{2}$-$\sqrt{3}$cos$\frac{ωx}{2}$）+$\sqrt{3}$（ω＞0）在区间（$\frac{π}{3}$，π）上有且仅有一个零点，则实数ω的范围为（$\frac{1}{3}$，1）∪（$\frac{4}{3}$，3]．

Answer 1

分析 利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，求出函数的单调区间；在区间（$\frac{π}{3}$，π）上有且仅有一个零点，可得$\frac{2π}{ω}$$≥π-\frac{π}{3}$，又因为$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{π}{3}）＜0}\\{f（π）＞0}\end{array}\right.$，建立不等式关系，即可求实数ω的范围．

解答 解：函数f（x）=2cos$\frac{ωx}{2}$（sin$\frac{ωx}{2}$-$\sqrt{3}$cos$\frac{ωx}{2}$）+$\sqrt{3}$（ω＞0）
化简可得：f（x）=2cos$\frac{ωx}{2}$sin$\frac{ωx}{2}$-2$\sqrt{3}$cos²$\frac{ωx}{2}$$+\sqrt{3}$=sinωx-$\sqrt{3}$cosωx=2sin（ωx$-\frac{π}{3}$）．
周期T=$\frac{2π}{ω}$．
∵在区间（$\frac{π}{3}$，π）上有且仅有一个零点，$\frac{2π}{ω}$$≥π-\frac{π}{3}$，可得ω≤3．
由$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{π}{3}）＜0}\\{f（π）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{sin（ω×\frac{π}{3}-\frac{π}{3}）＜0}\\{sin（πω-\frac{π}{3}）＞0}\end{array}\right.$，可得：$\left\{\begin{array}{l}{ω＜1+3k}\\{ω＞\frac{1}{3}+k}\end{array}\right.$，k∈Z，
∵ω＞0，
当k=0时，可得：$\frac{1}{3}＜ω＜1$，
当k=1时，可得：$\frac{4}{3}＜ω＜4$；
∵ω≤3．
综上可得实数ω的范围为（$\frac{1}{3}$，1）∪（$\frac{4}{3}$，3]．
故答案为（$\frac{1}{3}$，1）∪（$\frac{4}{3}$，3]．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质的综合性运用能力，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档偏难题的题．