Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1+lnx}{x-1}$．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）若不等式f（x）＞$\frac{k}{x}（{x＞1}）$恒成立，求整数k的最大值；
（III）求证：（1+1×2）•（1+2×3）…（1+n（n×1））＞e^2n-3（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对函数f（x）求导数，可判f′（x）＜0，进而可得单调性；
（Ⅱ）问题转化为h（x）k恒成立，通过构造函数可得h（x）_min∈（3，4），进而可得k值；
（Ⅲ）法一：可得ln（x+1）＞2-$\frac{3}{x}$，令x=n（n+1）（n∈N^*），一系列式子相加，由裂项相消法可得ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n（n+1）]＞2n-3，进而可得答案；法二：利用数学归纳法证明即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，1）∪（1，+∞），
f′（x）=-$\frac{\frac{1}{x}+lnx}{{（x-1）}^{2}}$，
令φ（x）=$\frac{1}{x}$+lnx，则φ′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，φ（x）递减，
∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，
∴f′（x）＜0，f（x）递减，
x∈（1，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）递增，
∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，∴f′（x）＜0，f（x）递减，
综上，f（x）在（0，1），（1，+∞）递减；
（Ⅱ）f（x）＞$\frac{k}{x}$（x＞1）恒成立，
令h（x）=$\frac{x（1+lnx）}{x-1}$＞k恒成立，
即h（x）的最小值大于k，
h′（x）=$\frac{x-2-lnx}{{（x-1）}^{2}}$，（x＞1），
令g（x）=x-2-lnx（x＞1），则g′（x）=$\frac{x-1}{x}$＞0，
故g（x）在（1，+∞）递增，
又g（3）=1-ln3＜0，g（4）=2-2ln2＞0，
g（x）=0存在唯一的实数根a，且满足a∈（3，4），a-2-lna=0，
故x＞a时，g（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）递增，
1＜x＜a时，g（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）递减，
故h（x）min=h（a）=$\frac{a（1+lna）}{a-1}$=$\frac{a（a-1）}{a-1}$=a∈（3，4），
故正整数k的最大值是3；
（Ⅲ）法一：由（Ⅱ）知，$\frac{1+lnx}{x-1}$＞$\frac{3}{x}$，（x＞1）恒成立，
即lnx＞2-$\frac{3}{x}$，故ln（x+1）＞2-$\frac{3}{x+1}$＞2-$\frac{3}{x}$，
令x=n（n+1），（n∈N^*），得ln[1+n（n+1）]＞2-$\frac{3}{n（n+1）}$，
∴ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln[1+n（n+1）]
＞（2-$\frac{3}{1×2}$）+（2-$\frac{3}{2×3}$）+…+[2-$\frac{3}{n（n+1）}$]
=2n-3[$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$]
=2n-3（1-$\frac{1}{n+1}$）
=2n-3+$\frac{3}{n+1}$＞2n-3，
故（1+1×2）•（1+2×3）…（1+n（n×1））＞e^2n-3（n∈N^*）．
法二：要证（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））＞e^2n-3，
只需证ln[（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））]＞2n-3，
即ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+n（n+1））＞2n-3．
可以下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时 左边=ln3＞0，右边=-1，不等式显然成立；
②当n=2时 左边=ln3+ln7=ln21 右边=1 显然不等式成立；
③假设n=k（ k≥2）时成立，即ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+k（k+1）＞2k-3，
那么n=k+1时，
ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+（k+1）（k+2））
=ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+k（k+1））+ln（1+（k+1）（k+2））
＞2k-3+ln（1+（k+1）（k+2））
∵当k≥2时 ln（1+（k+1）（k+2））＞2．
∴ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+（k+1）（k+2））
＞2k-3+2=2k-1=2（k+1）-3，
∴当n=k+1时不等式成立．
综上所述ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln（1+n（n+1））＞2n-3成立．
则（1+1×2）（1+2×3）（1+3×4）…（1+n（n+1））＞e^2n-3．

点评 本题考查函数导数的综合应用，涉及恒成立问题和数列求和的方法，