Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sin（π+ωx），2cosωx），$\overrightarrow{b}$=（2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+ωx），cosωx），（ω＞0），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，其图象上相邻的两个最低点之间的距离为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的对称中心；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，tanB=$\frac{\sqrt{3}ac}{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}$，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，利用向量的运算求出函数f（x）的关系式，图象上相邻的两个最低点之间的距离为π．可得周期T=π，求出ω，即可求函数f（x）的对称中心．
（Ⅱ）根据tanB=$\frac{\sqrt{3}ac}{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}$由余弦定理：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$化简可得：tanB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{1}{cosB}$，求出B，利用三角函数的有界限求出f（A）的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意，向量$\overrightarrow{a}$=（sin（π+ωx），2cosωx），$\overrightarrow{b}$=（2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+ωx），cosωx），（ω＞0），
函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sin（π+ωx）•（2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+ωx）+2cosωx•cosωx=2cos²ωx-$2\sqrt{3}$sinωx•cosωx
=1+cos2ωx-$\sqrt{3}$sin2ωx=2cos（2ωx+$\frac{π}{3}$）+1，
∵图象上相邻的两个最低点之间的距离为π．
∴周期T=π，即$\frac{2π}{2ω}=π$，
∴ω=1，
可得f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
令2x+$\frac{π}{3}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，
得：x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{12}$，
函数f（x）的对称中心为（$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{12}$，1），k∈Z；
（Ⅱ）∵tanB=$\frac{\sqrt{3}ac}{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}$，
由余弦定理：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$化简可得：tanB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{1}{cosB}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵△ABC是锐角三角形，
∴B=$\frac{π}{3}$．
∴$0＜A＜\frac{2π}{3}$，
那么：f（A）=2cos（2A+$\frac{π}{3}$）+1，
则2A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$），
∴cos（2A+$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$）．
故得f（A）的取值范围是[-1，2）．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质以及余弦定理的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．