Question

8．如图所示，四面体ABCD中，已知平面BCD⊥平面ABC，BD⊥DC，BC=6，AB=4$\sqrt{3}$，∠ABC=30°．
（I）求证：AC⊥BD；
（II）若二面角B-AC-D为45°，求直线AB与平面ACD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）利用余弦定理计算AC，得出AC⊥BC，再利用面面垂直的性质得出AC⊥平面BCD，从而有AC⊥BD；
（II）证明BD⊥平面ACD，于是∠BAD为所求角，先计算BD，在Rt△ABD中计算sin∠BAD．

解答 （I）证明：△ABC中，由余弦定理得AC²=36+48-2×$6×4\sqrt{3}×cos30°$=12，
∴$AC=2\sqrt{3}$，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC．
又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，AC?平面ABC，
∵AC⊥平面BCD．又∵BD?平面BCD，
∴AC⊥BD．
（II）解：∵AC⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AC⊥CD．又∵BC⊥AC，
∴∠BCD是平面DAC与平面BAC所成的二面角的平面角，即∠BCD=45°．
∵BD⊥CD，AC⊥BD，CD?平面ACD，AC?平面ACD，CD∩AC=C，
∴BD⊥平面ACD．
∴∠BAD是AB与平面ACD所成的角．
Rt△ACD中，$BD=BCsin{45°}=3\sqrt{2}$，
∴$sin∠BAD=\frac{BD}{AB}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．
即求直线AB与平面ACE所成的角的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间角的计算，属于中档题．