Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+2x-\frac{5}{4}，（x≤1）\\{log_{\frac{1}{3}}}x-\frac{1}{4}．（x＞1）\end{array}$，g（x）=|A-2|•sinx（x∈R），若对任意的x₁、x₂∈R，都有f（x₁）≤g（x₂），则实数A的取值范围为（　　）

• A． $（-∞，\frac{9}{4}]$
• B． $[\frac{7}{4}，+∞）$
• C． $[\frac{7}{4}，\frac{9}{4}]$
• D． $（-∞，\frac{7}{4}]∪$$[\frac{9}{4}，+∞）$

Answer 1

分析 对任意的x₁、x₂∈R，都有f（x₁）≤g（x₂）?f（x）_max≤g（x）_min，分别求出最值即可得出．

解答 解：对任意的x₁、x₂∈R，都有f（x₁）≤g（x₂）?f（x）_max≤g（x）_min，
注意到$f{（x）_{max}}=f（1）=-\frac{1}{4}$，又g（x）=|A-2|sinx≥-|A-2|，
故$-|A-2|≥-\frac{1}{4}⇒|A-2|≤\frac{1}{4}⇒\frac{7}{4}≤A≤\frac{9}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性、等价转化方法、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．