Question

已知数列{a_n}前n项和S_n满足a_n=2-2S_n．
（I）求a₁，a₂；
（II）求通项公式a_n；
（III）求证数列{S_n-1}为等比数列．

Answer 1

分析：（I）在a_n=2-2S_n，取n=1 求出a₁．再令n=2，化简计算即可求出a2．
（II）利用数列中a_n与 Sn关系 an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

解决．
（III）由已知，当n≥2时，2-2S_n=a_n=S_n-S_n-1  即3S_n=2+S_n-1，变形构造可以得出3（S_n-1）=S_n-1-1，问题易解．

解答：解：（I） 在a_n=2-2S_n
取n=1，则a₁=2-2S₁=2-2a₁∴a₁=

2

3

取n=2，则a₂=2-2S₂=2-2（a₁+a₂）=2-2（

2

3

+a₂）∴a₂=

2

9

．（2分）
（II）∵当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
∴a_n-a_n-1=（2-2S_n）-（2-2S_n-1）=-2（S_n-S_n-1）=-2a_n
∴a_n=

1

3

a_n-1，n≥2   又a₁=

2

3

∴a_n≠0，n∈N*
∴

an

an-1

=

1

3

∴{a_n}为等比数列，且公比为

1

3

∴a_n=

2

3

×（

1

3

）^n-1=

2

3n

，n∈N*．（4分）
（III）  当n≥2时，2-2S_n=a_n=S_n-S_n-1  即：3S_n=2+S_n-1
∴3（S_n-1）=S_n-1-1  又S₁-1=a₁-1=-

1

3

≠0
∴S_n-1≠0，n∈N*
∴

Sn-1

Sn-1-1

=

1

3

为常数
∴数列{S_n-1}为等比数列．（7分）

点评：本题考查由Sn求通项，等比数列的判定．考查变形转化、构造，计算、推理论证能力．