Question

【题目】已知函数是奇函数（其中）

（1）求实数m的值；

（2）已知关于x的方程在区间上有实数解，求实数k的取值范围；

（3）当时，的值域是，求实数n与a的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），.

【解析】

（1）由f（x）是奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），结合对数的真数大于0求出m的值；

（2）由题意问题转化为求函数在x∈[2，6]上的值域，求导判断出单调性，进而求得值域，可得k的范围．

（3）先判定函数的单调性，进而由x时，f（x）的值域为（1，+∞），根据函数的单调性得出n与a的方程，从而求出n、a的值．

（1）∵f（x）是奇函数，

∴f（﹣x）＝﹣f（x），

∴logalogaloga，

∴，

即1﹣m2x2＝1﹣x2对一切x∈D都成立，

∴m2＝1，m＝±1，

由于0，∴m＝﹣1；

（2）由（1）得，，∴

即，令，

则，

∴在区间上单调递减，当时，；当时，；所以，.

（3）由（1）得，，且

∵在与上单调递减

∵x∈（n，a﹣2），定义域D＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），

①当n≥1时，则1≤n＜a﹣2，即a＞1+2，

∴f（x）在（n，a﹣2）上为减函数，值域为（1，+∞），

∴f（a﹣2）＝1，

即a，

∴a3，或a1（不合题意，舍去），且n＝1；

②当n＜1时，则（n，a﹣2）（﹣∞，﹣1），

∴n＜a﹣21，

即a＜21，

且f（x）在（n，a﹣2）上的值域是（1，+∞）；

∴f（a﹣2）＝1，

即a，

解得a3（不合题意，舍去），或a1；

此时n＝﹣1（舍去）；

综上，a3，n＝1．