Question

8．已知函数f（x）=x²-2ax+1．
（I）当a=2，x∈[-2，3]时，求函数的值域；
（II）求函数f（x）在[-1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （I）当a=2，x∈[-2，3]时，利用配方法，即可求函数的值域；
（II）函数f（x）=x²-2ax+1的对称轴为x=a，开口向上，分类讨论求函数f（x）在[-1，2]上的最小值．

解答 解：（I）当a=2时，函数f（x）=x²-4x+1，其对称轴为x=2，开口向上，
∴$f{（x）_{min}}=f（2）={（2）^2}-4×2+1=-3$，$f{（x）_{max}}=f（-2）={（-2）^2}-3×（-2）+1=13$；
（II）函数f（x）=x²-2ax+1的对称轴为x=a，开口向上
当a≥2时，函数f（x）在[-1，2]上为减函数∴f（x）_min=f（2）=5-4a
当a≤-1时，函数f（x）在[-1，2]上为增函数∴f（x）_min=f（-1）=2+2a
当-1＜a＜2时，$f{（x）_{min}}=f（a）=1-{a^2}$．

点评 本题考查函数的最值，考查配方法的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．