Question

16．已知函数f（x）=log_0.5（x+$\frac{1}{x}$），下列说法：
（1）f（x）的定义域为（0，+∞）；
（2）f（x）的值域为[-1，+∞）；
（3）f（x）是奇函数；
（4）f（x）在（0，1）上单调递增．
其中说法正确的是（1）（4）．

Answer 1

分析 根据已知中的函数的解析式，求出函数的定义域，值域，奇偶性和单调性，可得结论．

解答 解：由x与$\frac{1}{x}$同号可得：x+$\frac{1}{x}$＞0时，x＞0，
故f（x）的定义域为（0，+∞），故（1）正确；
当x＞0时，x+$\frac{1}{x}$≥2，
故f（x）=log_0.5（x+$\frac{1}{x}$）≤-1，
故f（x）的值域为（-∞，-1]，故（2）错误；
函数的定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故（3）错误；
当x∈（0，1）时，t=x+$\frac{1}{x}$为减函数，f（x）=log_0.5（x+$\frac{1}{x}$）为增函数，故（4）正确；
故答案为：（1）（4）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的定义域，值域，奇偶性和单调性，难度中档．