Question

20．若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$，且x∈[-1，1]时，f（x）=1-x²，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lgx（x＞0）}\\{-\frac{1}{x}（x＜0）}\end{array}$，则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]内的零点的个数为（　　）

• A． 5
• B． 7
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 结合题意得到函数y=f（x）（x∈R）是周期为2的函数，进而根据f（x）=1-x²与函数g（x）的图象得到交点个数即可．

解答 解：∵f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）为周期为2的周期函数，
∵x∈[-1，1]时，f（x）=1-x²，所以作出它的图象，
利用函数y=f（x）（x∈R）是周期为2函数，
可作出y=f（x）在区间[-5，5]上的图象，如图所示：

故函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]内的零点的个数为8．
故选：C．

点评 本题的考点是函数零点与方程根的关系，主要考查函数零点的定义，关键是正确作出函数图象，注意掌握周期函数的一些常见结论：若f（x+a）=f（x），则周期为a；若f（x+a）=-f（x），则周期为2a；若f（x+a）=$\frac{1}{f（x）}$，则周期为2a．