Question

12．如图所示，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，D₁是B₁C₁的中点，设平面A₁D₁B∩平面ABC=l₁，平面ADC₁∩平面A₁B₁C₁=l₂，
（1）求证：l₁∥l₂；
（2）若此三棱柱是各棱长都相等且侧棱垂直于底面，求A₁B与AC₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 连接DD₁．过B点作直线l₁'∥AD，证明l₁'即为l₁，可得l₁∥AD∥A₁D₁；过C₁作直线l₂'∥A₁D₁，证明l₂'即为l₂，l₂∥AD∥A₁D₁；即可得证l₁∥l₂．

解答 （1）证明：连接DD₁．在四边形BDD₁B₁中，BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$B₁C₁=B₁D₁，BD∥B₁D₁，
所以四边形BDD₁B₁为平行四边形，
所以DD₁=BB₁=AA₁①，且DD₁∥BB₁∥AA₁②；由①、②得：
四边形ADD₁A₁为平行四边形，
所以AD∥A₁D₁③；
过B点作直线l₁'∥AD，由③知l₁'∥A₁D₁，由于AD在面ABC中，
A₁D₁在面A₁B₁C₁中，
所以l₁'∥面ABC，l₁'∥A₁B₁C₁，由于B点同时在面ABC和面A₁B₁C₁中，
所以l₁'同时在面ABC和面A₁B₁C₁中，即l₁'为面ABC和面A₁B₁C₁的交线，
所以l₁'即为l₁，
所以l₁∥AD∥A₁D₁④；
过C₁作直线l₂'∥A₁D₁，同上可以证明l₂'即为l₂，l₂∥AD∥A₁D₁⑤；
由④、⑤即得l₁∥l₂．
（2）解：分别取AA₁，A₁C₁，AB的中点E，F，G，连EF，EG，FG
则∠GEF为所求角或其补角，令棱长为2，则GE=EF=$\sqrt{2}$，GF=$\sqrt{5}$，
由余弦定理得cos∠GEF=-$\frac{1}{4}$，故A₁B与AC₁所成角的余弦值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题在三棱柱中证明面面平行，并且求A₁B与AC₁所成角的余弦值．着重考查了线面平行、面面平行的判定定理等知识，属于中档题．