Question

2．设点（a，b）是区间$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x＞0}\\{y＞0}\end{array}\right.$内的随机点，函数f（x）=ax²-4bx+1在区间[1，+∞）上的增函数的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 首先画出可行域，求出面积，计算满足函数f（x）=ax²-4bx+1在区间[1，+∞）上的增函数的a，b满足区域的面积，利用几何概型公式得到所求．

解答 解：点（a，b）对应的区域为边长为4的等腰直角三角形，
面积为8，而使得
函数f（x）=ax²-4bx+1在区间[1，+∞）上的增函数的a，b满足的条件$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\frac{4b}{2a}≤1}\end{array}\right.$，对应区域面积为$\frac{1}{2}×4×\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$，
由几何概型的公式得到所求概率为：$\frac{\frac{8}{3}}{8}=\frac{1}{3}$；
故选A．

点评 本题考查了简单线性规划问题与几何概型的综合考查；正确画出区域，利用面积比求概率是关键．