Question

设x，y∈R，则（3-4y-cosx）²+（4+3y+sinx）²的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：数形结合法

分析：明确（3-4y-cosx）²+（4+3y+sinx）²的几何意思，为直线3x+4y-25=0上的点到圆x²+y²=1上的点的距离的平方，利用点到直线间的距离公式即可求得答案．

解答： 解：∵（3-4y-cosx）²+（4+3y+sinx）²=(

[(3-4y)-cosx]2+[(4+3y)-(-sinx)]2

)2，
类比两点间的距离公式|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

，
而且3（3-4y）+4（4+3y）-25=0，
∴所求的式子为直线3x+4y-25=0上的一点到圆x²+y²=1上的一点的距离的平方，
画图可知，过原点O（0，0）作3x+4y-25=0的垂线段，垂直为P，|OP|═

|3×0+4×0-25|

32+42

=5，
OP与圆的交点分别为M、N，
显然，（3-4y-cosx）²+（4+3y+sinx）²的最小值为|PM|²=（|OP|-|OM|）²=（|OP|-1）²=16．
故答案为：16．

点评：本题考查考查三角函数的最值，理解（3-4y-cosx）²+（4+3y+sinx）²的几何意思是关键，也是难点，考查转化思想与逻辑思维能力，属于难题．