Question

18．设数列{a_n}是各项为正的单调递减的等比数列，a₁+a₂+a₃=3，则首项a₁的取值范围是（　　）

• A． （0，3）
• B． （0，1）
• C． （3，9）
• D． （1，3）

Answer 1

分析 根据等比数列的通项公式用q表示a₁=$\frac{3}{1+q+{q}^{2}}$，结合一元二次函数的性质进行求解．

解答 解：∵数列{a_n}是各项为正的单调递减的等比数列，
∴0＜q＜1，
则由a₁+a₂+a₃=3，得a₁（1+q+q²）=3，
即a₁=$\frac{3}{1+q+{q}^{2}}$=$\frac{3}{（q+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$，
∵0＜q＜1，
∴1＜（q+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＜3，
则$\frac{3}{3}$＜$\frac{3}{（q+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$＜3，
即1＜$\frac{3}{（q+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$＜3，
故则1＜a₁＜3，
故选：D

点评 本题主要考查等比数列通项公式的应用，结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．