Question

3．设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足tS_n=na_n，且a₃＜a₂，求常数t的值．

Answer 1

分析 通过已知条件，令n=1，可得t≠1，a₁=0，再令n=2，可得t≠2，a₂=0，再由tS₃=3a₃，且a₃＜a₂求得t=3．

解答 解：由tS_n=na_n，得ta₁=a₁，
∴t=1或a₁=0．
若t=1，则S_n=na_n，有a₁+a₂=2a₂，得a₁=a₂．
a₁+a₂+a₃=3a₃，得a₂=a₃，与a₃＜a₂矛盾，
∴a₁=0，
当n=2时，有t（a₁+a₂）=2a₂，即ta₂=2a₂，
∴t=2或a₂=0．
若t=2，则由2S₃=2（a₂+a₃）=3a₃，得a₃=2a₂，当a₂＞0时不成立．
若a₂=0，由t（a₁+a₂+a₃）=ta₃=3a₃，
∵a₃＜a₂≠0，∴t=3．

点评 本题考查数列的通项和求和之间的关系，考查运算能力，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．