如图所示,在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中,AD∥BC,PD⊥平面ABCD,AD=1,AB=,BC=4.
(1)求证:BD⊥PC;
(2)求直线AB与平面PDC所成的角;
(3)设点E在棱PC上,=λ,若DE∥平面PAB,求λ的值.
(1)见解析 (2)60° (3)
解析(1)证明:由题意知,AB⊥AD,AD=1,AB=,
∴BD=2,BC=4,
∴DC=2,
则BC2=DB2+DC2,
∴BD⊥DC,
∵PD⊥平面ABCD,
∴BD⊥PD,
而PD∩CD=D,
∴BD⊥平面PDC.
∵PC在平面PDC内,
∴BD⊥PC.
解:(2)如图所示,过D作DF∥AB交BC于F,过点F作FG⊥CD交CD于G.
∵PD⊥平面ABCD,
∴平面PDC⊥平面ABCD,
∴FG⊥平面PDC,
∴∠FDG为直线AB与平面PDC所成的角.
在Rt△DFC中,∠DFC=90°,DF=,CF=3,
∴tan∠FDG=,
∴∠FDG=60°.
∴直线AB与平面PDC所成角为60°.
(3)连接EF,
∵DF∥AB,
∴DF∥平面PAB.
∵DE∥平面PAB,
∴平面DEF∥平面PAB,
∴EF∥AB,如图所示,
∵AD=1,BC=4,BF=1,
∴==,
∴=,
即λ=.
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(本小题满分14分)已知四棱锥P—GBCD中(如图),PG⊥平面GBCD,GD∥BC,GD=BC,且BG⊥GC,GB=GC=2,E是BC的中点,PG=4
(Ⅰ)求异面直线GE与PC所成角的余弦值;
(Ⅱ)若F点是棱PC上一点,且,,求的值.
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如图,四棱锥SABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.
(1)求证:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角PACD的大小;
(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.
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如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E分别是棱BC、AB的中点,点F在棱CC1上,已知AB=AC,AA1=3,BC=CF=2.
(1)求证:C1E∥平面ADF;
(2)设点M在棱BB1上,当BM为何值时,平面CAM⊥平面ADF?
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如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,A1A=AC,D、E、F分别为线段AC、A1A、C1B的中点.
(1)证明:EF∥平面ABC;
(2)证明:C1E⊥平面BDE.
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如图,在几何体ABCDE中,AB=AD=2,AB⊥AD,AE⊥平面ABD,M为线段BD的中点,MC∥AE,且AE=MC=.
(1)求证:平面BCD⊥平面CDE;
(2)若N为线段DE的中点,求证:平面AMN∥平面BEC.
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