Question

4．已知函数f（x）=-cos²x-2asinx，（x∈[0，π]，a∈R），求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 函数f（x）=sin²x-2asinx-1，（x∈[0，π]，a∈R），设t=sinx，则y=t²-2at-1，t∈[0，1]，转化为二次函数讨论求解．

解答 解：∵函数f（x）=-cos²x-2asinx，（x∈[0，π]，a∈R），
∴函数f（x）=sin²x-2asinx-1，（x∈[0，π]，a∈R），
∴设t=sinx，则y=t²-2at-1，t∈[0，1]，
∵对称轴t=a，
∴当a∈[0，1]时，f（x）_min=-1-a²，
f（0）=-1，f（1）=-2a，
当0≤a≤$\frac{1}{2}$时，f（x）_max=-2a，
当$\frac{1}{2}$＜a≤1时，f（x）_max=-1，
当a∈（-∞，0）时，f（x）_min=-1，f（x），f（x）_max=-2a，
当a∈（1，+∞）时，f（x）_min=-2a，f（x）_max=-1，
综上所述：当a＜0时，f（x）的值域为[-1，-2a]，
当0≤a≤$\frac{1}{2}$，f（x）的值域为[-1-a²，-2a]，
当$\frac{1}{2}$＜a≤1，f（x）的值域为[-1-a²，-1]，
当a＞1时，f（x）的值域为[-2a，-1]

点评 本题考查了换元法转化求解，有关的三角函数的最值问题，注意新元的取值范围．