Question

16．在椭圆$\frac{x^2}{4}$+y²=1中，F₁，F₂为椭圆的左右焦点，P是直线x=4上的一个动点．则∠F₁PF₂取得最大值时线段OP的长为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 在椭圆$\frac{x^2}{4}$+y²=1中，如图所示，设P（4，t），不妨设t≥0，t=0时，∠F₁PF₂=0．t＞0时，${k}_{P{F}_{1}}$=$\frac{t}{4+\sqrt{3}}$，${k}_{P{F}_{2}}$=$\frac{t}{4-\sqrt{3}}$．∠F₁PF₂为锐角．tan∠F₁PF₂=$\frac{|{k}_{P{F}_{1}}-{k}_{P{F}_{2}}|}{1+{k}_{P{F}_{1}}{k}_{P{F}_{2}}|}$，代入利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：在椭圆$\frac{x^2}{4}$+y²=1中，c=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$．
∴F₁$（-\sqrt{3}，0）$，F₂$（\sqrt{3}，0）$．
如图所示，设P（4，t），
不妨设t≥0，t=0时，∠F₁PF₂=0．
t＞0时，${k}_{P{F}_{1}}$=$\frac{t}{4+\sqrt{3}}$，${k}_{P{F}_{2}}$=$\frac{t}{4-\sqrt{3}}$．
∵∠F₁PF₂为锐角．
tan∠F₁PF₂=$\frac{|{k}_{P{F}_{1}}-{k}_{P{F}_{2}}|}{1+{k}_{P{F}_{1}}{k}_{P{F}_{2}}|}$=$\frac{\frac{t}{4-\sqrt{3}}-\frac{t}{4+\sqrt{3}}}{1+\frac{t}{4-\sqrt{3}}×\frac{t}{4+\sqrt{3}}}$=$\frac{2\sqrt{3}t}{1+{t}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{t+\frac{1}{t}}$≤$\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{t•\frac{1}{t}}}$=$\sqrt{3}$，
当且仅当t=1时取等号，tan∠F₁PF₂取到最大值，
此时∠F₁PF₂最大，故∠F₁PF₂的最大值为$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线夹角公式、斜率计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．