Question

6．已知x＞0，y＞0，若不等式$\frac{x+2y}{xy}$≥$\frac{k}{2x+y}$恒成立，则实数k的最大值为9．

Answer 1

分析 由已知不等式分离变量k，得k≤$\frac{（x+2y）（2x+y）}{xy}$=5+$\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x}$，然后利用基本不等式求得k的最大值．

解答 解：∵x＞0，y＞0，不等式$\frac{x+2y}{xy}$≥$\frac{k}{2x+y}$恒成立等价于k≤$\frac{（x+2y）（2x+y）}{xy}$=5+$\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x}$，
5+$\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x}$≥5+2$\sqrt{\frac{2x}{y}•\frac{2y}{x}}$=9，当且仅当$\frac{2x}{y}=\frac{2y}{x}$，即x=y时“=”成立．
∴k≤9．
故答案为：9

点评 本题考查了恒成立问题，体现了分离变量法，涉及了利用基本不等式求最值，是中档题．