Question

15．已知直线l₁：x-2y+3=0与直线l₂：2x+3y-8=0的交点为M，
（1）求过点M且到点P（0，4）的距离为2的直线l的方程；
（2）求过点M且与直线l₃：x+3y+1=0平行的直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）先求两条直线的交点，设出直线方程，利用点到直线的距离，求出k，从而确定直线方程．
（2）已知直线的斜率，利用点斜式方程求解即可．

解答 解　（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+3=0}\\{2x+3y-8=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$
∴l₁，l₂的交点M为（1，2），
设所求直线方程为y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，
∵P（0，4）到直线的距离为2，
∴2=$\frac{|-2-k|}{\sqrt{1+k2}}$，
解得k=0或$\frac{4}{3}$．
∴直线方程为y=2或4x-3y+2=0；
（2）过点（1，2）且与x+3y+1=0平行的直线的斜率为：-$\frac{1}{3}$，
所求的直线方程为：y-2=-$\frac{1}{3}$（x-1），即3y+x-7=0．

点评 本题考查两条直线的交点坐标，直线的一般式方程，点到直线的距离公式，考查计算能力，是基础题．