Question

12．已知实数x、y满足条件：$\left\{\begin{array}{l}x-y-1≤0\\ 2x+y-4≥0\\ y≤2\end{array}\right.$，则$\frac{2x^2+y^2}{xy}$的最大值与最小值的和为（　　）

• A． $\frac{20}{3}$
• B． $\frac{42}{5}$+2$\sqrt{2}$
• C． $\frac{136}{15}$
• D． $\frac{27}{5}$+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 令$\frac{y}{x}$=k，由线性规划求得：$\frac{2}{5}$≤k≤2，将$\frac{2x^2+y^2}{xy}$变形为$\frac{2x}{y}$+$\frac{y}{x}$=$\frac{2}{k}$+k，则易求$\frac{2x^2+y^2}{xy}$的最大值与最小值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y-1≤0\\ 2x+y-4≥0\\ y≤2\end{array}\right.$，作出可行域如图，

令$\frac{y}{x}$=k，由线性规划得到：$\frac{2}{5}$≤k≤2，
令z=$\frac{2x^2+y^2}{xy}$=$\frac{2x}{y}$+$\frac{y}{x}$=$\frac{2}{k}$+k．
当k=$\frac{2}{5}$时，z_min=$\frac{27}{5}$，z_max=2$\sqrt{2}$，
则$\frac{2x^2+y^2}{xy}$的最大值与最小值的和为：$\frac{27}{5}$+2$\sqrt{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划的应用，确定平面区域的位置，利用数形结合是解决本题的关键．