Question

19．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为$\frac{1}{7}$，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球．甲先取，乙后取，然后甲再取…取后不放回，每人最多取两次，若两人中有一人首先取到白球时则终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的．   
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求甲取到白球的概率；
（3）求取球4次终止的概率．

Answer 1

分析 （1）设袋中原有n个白球，利用等可能事件概率计算公式能求出袋中原有3个白球．
（2）甲只有可能在第1次和第3次取球，记“甲第一次取到白球”的事件为A₁，“第3球取到白球”的事件为A₃，由事件A₁，A₃两两互斥，能求出甲取到白球的概率．
（3）因为第四次轮到乙取球，“第四次乙取到白球”的事件为B，“第四次乙取不到白球”的事件为C，由此能求出取球4次终止的概率．

解答 解：（1）设袋中原有n个白球，
由题意知：$\frac{1}{7}=\frac{C_n^2}{C_7^2}=\frac{{\frac{n（n-1）}{2}}}{{\frac{7×6}{2}}}$，解得n=3，
即袋中原有3个白球．…（4分）
（2）甲只有可能在第1次和第3次取球，
记“甲第一次取到白球”的事件为A₁，
“第3球取到白球”的事件为A₃，
因为事件A₁，A₃两两互斥．
所以P=P（A₁）+P（A₃）=$\frac{C_3^1}{C_7^1}+\frac{A_4^2C_3^1}{A_7^3}=\frac{3}{7}+\frac{4×3×3}{7×6×5}=\frac{3}{5}$．…（8分）
（3）因为第四次轮到乙取球，“第四次乙取到白球”的事件为B，
“第四次乙取不到白球”的事件为C，
则P=$P（B）+P（C）=\frac{A_4^3C_3^1}{A_7^4}+\frac{A_4^4}{A_7^4}=\frac{3}{35}+\frac{1}{35}=\frac{4}{35}$…（12分）．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式、互斥事件概率加法公式的合理运用．