Question

10．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF=3$\sqrt{6}$．
（1）（文理）求证：AC⊥平面BDE；
（2）（理）求二面角F-BE-D的余弦值；
（文）求三棱锥F-BDE的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出DE⊥AC，AC⊥BD，由此能证明AC⊥平面BDE．
（2）（理）由DA、DC、DE两两垂直，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出二面角F-BE-D的余弦值．
（2）（文）AF∥平面BDE，从而三棱锥F-BDE的体积V_F-BDE=V_A-BDE，由此能求出结果．

解答 证明：（1）因为DE⊥平面ABCD，
所以DE⊥AC．  因为ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，
因为DE∩BD=D，从而AC⊥平面BDE．
解：（2）（理）因为DA、DC、DE两两垂直，
所以建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE=60°，
所以$\frac{ED}{DB}=\sqrt{3}$．
由AD=3，知DE=3$\sqrt{6}$，AF=$\sqrt{6}$．
则A（3，0，0），F（3，0，$\sqrt{6}$），E（0，0，3$\sqrt{6}$），B（3，3，0），C（0，3，0），
所以$\overrightarrow{BF}$=（0，-3，$\sqrt{6}$），$\overrightarrow{EF}$=（3，0，-2$\sqrt{6}$），
设平面BEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-3y+\sqrt{6}z=0}\\{3x-2\sqrt{6}z=0}\end{array}\right.$，
令z=$\sqrt{6}$，则$\overrightarrow{n}$=（4，2，$\sqrt{6}$）．
因为AC⊥平面BDE，所以$\overrightarrow{CA}$为平面BDE的法向量，$\overrightarrow{CA}$=（3，-3，0），
所以cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CA}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{CA}|}$=$\frac{6}{3\sqrt{2}•\sqrt{26}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$．
因为二面角为锐角，
所以二面角F-BE-D的余弦值为$\frac{\sqrt{13}}{13}$．
（2）（文）∵AF∥DE，AF?平面BDE，DE?平面BDE，
∴AF∥平面BDE
∴三棱锥F-BDE的体积：
V_F-BDE=V_A-BDE=$\frac{1}{3}{S}_{△BDE}•\frac{1}{2}AC$=$\frac{1}{3}×9\sqrt{3}×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{9\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，注意向量法的合理运用．