Question

12．求极限：
（1）$\underset{lim}{h→0}$（$\frac{1}{x+h}$-$\frac{1}{x}$）$\frac{1}{h}$；  
（2）$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{100{x}^{2}}{{x}^{2}-5x-100}$；
（3）$\underset{lim}{x→∞}$（1-$\frac{1}{x}$）（2+$\frac{1}{{x}^{2}}$）；
（4）$\underset{lim}{x→+∞}$x（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）；
（5）$\underset{lim}{n→∞}$（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）．

Answer 1

分析 （1）（$\frac{1}{x+h}$-$\frac{1}{x}$）$\frac{1}{h}$=$-\frac{1}{（x+h）x}$，从而解得；
（2）$\frac{100{x}^{2}}{{x}^{2}-5x-100}$=$\frac{100}{1-\frac{5}{x}-\frac{100}{{x}^{2}}}$，从而解得；
（3）$\underset{lim}{x→∞}$（1-$\frac{1}{x}$）（2+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=1•2；
（4）x（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$，从而解得；
（5）（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）=$\frac{1（1-\frac{1}{{2}^{n+1}}）}{1-\frac{1}{2}}$，从而解得；

解答 解：（1）$\underset{lim}{h→0}$（$\frac{1}{x+h}$-$\frac{1}{x}$）$\frac{1}{h}$
=$\underset{lim}{h→0}$（$-\frac{1}{（x+h）x}$）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$；
（2）$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{100{x}^{2}}{{x}^{2}-5x-100}$
=$\underset{lim}{x→∞}$$\frac{100}{1-\frac{5}{x}-\frac{100}{{x}^{2}}}$=100；
（3）$\underset{lim}{x→∞}$（1-$\frac{1}{x}$）（2+$\frac{1}{{x}^{2}}$）
=1•2=2；
（4）$\underset{lim}{x→+∞}$x（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）
=$\underset{lim}{x→+∞}$$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$=$\frac{1}{2}$；
（5）$\underset{lim}{n→∞}$（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1（1-\frac{1}{{2}^{n+1}}）}{1-\frac{1}{2}}$）=2．

点评 本题考查了极限的运算．