Question

20．已知曲线y=$\frac{1}{x}$和y=x²它们交于点P，过P点的两条切线与x轴分别交于A，B两点．求△ABP的面积．

Answer 1

分析 联立两曲线方程求出交点坐标P（1，1），把x=1分别代入两曲线的导函数中求两切线的斜率，从而写出过点P的两条切线方程，然后根据与x轴交点坐标的求法分别求出A、B的坐标可确定出三角形的底与高，利用三角形的面积公式即可求出．

解答 解：联立两曲线方程得$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{x}\\ y={x}^{2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.$，
所以切点P的坐标为（1，1），
求出两曲线的导函数为y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$和y′=2x，把x=1分别代入两个导函数得到过p点切线的斜率分别为：k₁=-1，k₂=2×1=2，
则两曲线在P点的切线方程分别为：y-1=-1（x-1）即x+y-2=0；y-1=2（x-1）即2x-y-1=0
因为A、B是两切线与x轴的交点，所以令y=0，得到A（2，0），B（$\frac{1}{2}$，0），
则s_△ABP=$\frac{1}{2}$×|2-$\frac{1}{2}$|×1=$\frac{3}{4}$．

点评 此题是把函数与方程综合在一起的题型，要求学生会利用导数求切线的斜率，以及会根据一点和斜率写出直线的方程，会求直线与x轴的截距．