Question

【题目】已知四棱锥中，，.

（1）求证：平面平面；

（2）若点是线段上靠近的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）1.

【解析】

（1）在中，利用余弦定理，可求得，用勾股定理，可证得，，继而可证平面，即得证；

（2））以为坐标原点，过点作平行于的直线为轴，所在直线为轴，过点作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，分别求解直线的方向向量，平面的法向量，利用线面角的向量公式，即得解

（1）不妨设，则，，，

因为，由余弦定理，，解得，

故，则；

而，则，

因为，故平面，

因为平面，故平面平面.

（2）以为坐标原点，过点作平行于的直线为轴，所在直线为轴，过点作垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，由（1）可知，

设点坐标为，由，

解得，，即点坐标为，

设平面的法向量为，所以，

所以，令，得，

而，故，故，

设直线与平面所成角为，则.