【题目】已知函数.
(1)当时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)先求导数,再根据导数几何意义得切线斜率,根据点斜式得切线方程,求出与坐标轴交点坐标,最后根据三角形面积公式得结果;
(2)解法一:利用导数研究,得到函数得导函数
的单调递增,当a=1时由
得
,符合题意;当a>1时,可证
,从而
存在零点
,使得
,得到
,利用零点的条件,结合指数对数的运算化简后,利用基本不等式可以证得
恒成立;当
时,研究
.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.
解法二:利用指数对数的运算可将,
令,上述不等式等价于
,注意到
的单调性,进一步等价转化为
,令
,利用导数求得
,进而根据不等式恒成立的意义得到关于a的对数不等式,解得a的取值范围.
(1),
,
.
,∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即
,
切线与坐标轴交点坐标分别为
,
∴所求三角形面积为;
(2)解法一:,
,且
.
设,则
∴g(x)在上单调递增,即
在
上单调递增,
当时,
,∴
,∴
成立.
当时,
,
,
,
∴存在唯一,使得
,且当
时
,当
时
,
,
,
因此
>1,
∴∴
恒成立;
当时,
∴
不是恒成立.
综上所述,实数a的取值范围是[1,+∞).
解法二:等价于
,
令,上述不等式等价于
,
显然为单调增函数,∴又等价于
,即
,
令,则
在上h’(x)>0,h(x)单调递增;在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减,
∴,
,∴a的取值范围是[1,+∞).
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【题目】已知0<m<2,动点M到两定点F1(﹣m,0),F2(m,0)的距离之和为4,设点M的轨迹为曲线C,若曲线C过点.
(1)求m的值以及曲线C的方程;
(2)过定点且斜率不为零的直线l与曲线C交于A,B两点.证明:以AB为直径的圆过曲线C的右顶点.
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【题目】政府工作报告指出,2019年我国深入实施创新驱动发展战略,创新能力和效率进一步提升;2020年要提升科技支撑能力,健全以企业为主体的产学研一体化创新机制,某企业为了提升行业核心竞争力,逐渐加大了科技投入;该企业连续5年来的科技投入x(百万元)与收益y(百万元)的数据统计如下:
科技投入x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
收益y | 40 | 50 | 60 | 70 | 90 |
(1)请根据表中数据,建立y关于x的线性回归方程;
(2)按照(1)中模型,已知科技投入8百万元时收益为140百万元,求残差(残差
真实值-预报值).
参考数据:回归直线方程,其中
.
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【题目】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) ( )
A.1.2天B.1.8天
C.2.5天D.3.5天
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【题目】在①;②
;③
,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,然后解答补充完整的题目.
在△中,内角A,B,C所对的边分别为
.且满足_________.
(1)求;
(2)已知,△
的外接圆半径为
,求△
的边AB上的高
.
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【题目】如图,在棱长为1的正方体中,
为棱
上的动点(点
不与点
,
重合),过点
作平面
分别与棱
,
交于
,
两点,若
,则下列说法正确的是( )
A.面
B.存在点,使得
∥平面
C.存在点,使得点
到平面
的距离为
D.用过,
,
三点的平面去截正方体,得到的截面一定是梯形
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