Question

【题目】已知0＜m＜2,动点M到两定点F1（﹣m,0）,F2（m,0）的距离之和为4,设点M的轨迹为曲线C,若曲线C过点.

（1）求m的值以及曲线C的方程；

（2）过定点且斜率不为零的直线l与曲线C交于A,B两点.证明：以AB为直径的圆过曲线C的右顶点.

Answer 1

【答案】（1）, ；（2）证明见解析.

【解析】

(1)根据椭圆的定义可知曲线C是以两定点F1,F2为焦点,长半轴长为2的椭圆,再代入点求得椭圆中的基本量即可.

(2)设直线,再联立椭圆的方程,得出韦达定理,代入进行计算可得证明即可.

（1）解：设M（x,y）,因为|MF1|+|MF2|=4＞2m,所以曲线C是以两定点F1,F2为焦点,长半轴长为2的椭圆,所以a=2.

设椭圆C的方程为1（b＞0）,代入点得b2=1,

由c2=a2﹣b2,得c2=3,

所以,故曲线C的方程为；

（2）证明：设直线l：x=ty,A（x1,y1）,B（x2,y2）,

椭圆的右顶点为P（2,0）,联立方程组

消去x得0.

△＞0,y1+y2,y1y2,

所以 ,∴,

故点P在以AB为直径的圆上,即以AB为直径的圆过曲线C的右顶点.