Question

【题目】已知抛物线C：（）的焦点为F，过F且斜率为1的直线与C交于A，B两点，.

（1）求C的方程；

（2）过点的直线l交C于点M，N，点Q为的中点，轴交C于点R，且，证明：动点T在定直线上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）联立直线方程与抛物线方程得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理逐步求出、，再利用弦长公式即可求得p，从而得出抛物线方程；（2）设l方程为，联立直线方程与抛物线方程得到关于x的二次方程，利用韦达定理用k表示出、，即可逐步求出点Q、点R的坐标，由可求出T点的坐标，消去k即可求得点T所在定直线.

（1）设，，

因为，所以过F且斜率为1的直线方程为，

代入，得，

所以，

，

所以，解得，

所以C方程为.

（2）证明：因为直线l斜率k存在，设l方程为，

设，，，

联立

消y得，

所以，，，

所以，，

即，

由点R在曲线E上且轴，，得，R为的中点，

所以T为，

因为，所以T在定直线上.

解法二：（1）同解法一

（2）设，，，

由，作差得，

所以，

设，因为点Q的横坐标，

所以直线的斜率，又因为，

所以，所以，

因为点R为的中点，所以，

因为点R在C上，代入得，即，

所以T在定直线上.