Question

【题目】已知，

（1）求的单调区间；

（2）若，在其公共点处切线相同，求实数a的值；

（3）记，若函数存在两个零点，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数的单调减区间为：；增区间为：（2）（3）a>e

【解析】

（1）根据，求导，由求减区间，由求增区间.

（2）由，求导，根据，在其公共点处切线相同，由求解.

（3）易得，x>0.，求导，令得，，然后分a≤0和a>0两种情况讨论求解.

（1）因为，

所以，

得x=-1，

当x<-1时，；当x>-1时，.

所以函数的单调减区间为：；增区间为：.

（2）由，.

因为点为函数的公共点，且函数在点P处的切线相同，

所以，且.

所以，

即，

显然a≠0，所以.

设，由得，在上是单调增函数，

又，所以.

（3）由得，，x>0.

则，

令得，.

设，由（1）知，在上是单调增函数.

1°当a≤0时，由x>0得，，

所以，所以在上是单调增函数，至多1个零点，不符，舍去.

2°当a>0时，因为，，

由零点存在性定理，，在上是单调增函数且连续，

所以存在唯一，使得，即.

当时，，单调递减；当时，，单调递增.

因为存在两个零点，

所以，即，从而.

所以.

因为在上是单调增函数，

且，所以，

由（1）可知，在是单调递增，

所以.

又，，

而，易得，，

所以，

由零点存在性定理知，函数在上存在唯一一个零点，在上存在唯一一个零点，

此时函数存在两个零点.

所以a>e.