Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）求证：当时，；

（Ⅱ）若存在，使，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）所证明不等式转化为，设， 利用导数判断函数的单调性，并利用最值证明；

（Ⅱ）首先判断函数的单调性，再分和两种情况求的取值范围，当时，成立，求，当时，根据（1）的结论证明时，，当时，设，利用导数证明，综上证明过程求的取值范围.

解：（Ⅰ）解：的定义域为，

，即

设，

，故在为增函数，

当时，，得证.

（Ⅱ），故的减区间为，增区间为，

对于，

（1）当时，，需要，；

（2）当时，先证若，有，

（ⅰ）若，，设，，

是减函数，，

，

（ⅱ）若，设，

是增函数，，，

故有，使，在减，在增，

，，

时，，得

由（ⅰ）（ⅱ）得，当时，

此时由于，时，，故，满足题意.

综上可得，的取值范围是.