【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若关于的方程
有解,求实数
的取值范围.
【答案】(1)当时,函数的单调递增区间
,无单调递减区间;
当时,单调递增区间为
,单调减区间为
(2).
【解析】
(1)首先求出函数的定义域以及导函数,然后讨论
或
,确定
的符号即可求解.
(2)分离参数可得,令
,利用导数求出函数
的最值,即可求出实数
的取值范围.
(1)由,则函数的定义域为
,
且,
当时,
,即
,
所以函数在上单调递增,无单调递减区间;
当时,令
,即
,解得
,
令,即
,解得
所以函数的单调递增区间为,
单调递减区间
综上所述,当时,函数的单调递增区间
,无单调递减区间;
当时,单调递增区间为
;
单调递减区间为;
(2)关于的方程
有解,
,
即有解,
即,
令,
,
设,
由在
为增函数,
在
为增函数,
在
也为增函数,
所以在
为增函数,
由,
所以当时,
,
当时,
,
即当时,
;当
时,
,
所以在
为减函数,在
为单调递增,
所以
所以
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【题目】已知椭圆:
的右焦点为
,且点
在椭圆
上.
⑴求椭圆的标准方程;
⑵已知动直线过点
且与椭圆
交于
两点.试问
轴上是否存在定点
,使得
恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:
(1)根据频数分布表计算苹果的重量在的频率;
(2)用分层抽样的方法从重量在和
的苹果中共抽取4个,其中重量在
的有几个?
(3)在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,写出所有可能的结果,并求重量在和
中各有1个的概率.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数).以原点
为极点,以
轴为非负半轴为极轴建立极坐标系,两坐标系相同的长度单位.圆
的方程为
被圆
截得的弦长为
.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)设圆与直线
交于点
,若点
的坐标为
,且
,求
的值.
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