【题目】已知函数在
处取到极值为
.
(1)求函数的单调区间;
(2)若不等式在
上恒成立,求实数k的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间是,单调递增区间是
;(2)
.
【解析】
(1)求出函数的导数,结合题意得到关于a,b的方程,求出a,b的值,求出函数的单调区间即可;
(2)问题等价于在
上恒成立,令
,则只需
即可,根据函数的单调性判断求解即可.
解:(1)由已知定义域为,
,
由,又
,得
,
,所以
,
所以,又
.
由得:x>2;由
得:x<0或0<x<2.
故f(x)的单调递减区间是;单调递增区间是
.
(2)问题等价于在x∈
上恒成立,
令,
则只需即可.
,
令,
则.
所以在
上单调递增,
又,
,
所以有唯一的零点,
在
上单调递减,在
上单调递增.
因为,两边同时取自然对数,则有
,
即.
构造函数,则
,
所以函数在
上单调递增,
又,所以
,即
.
所以,即
,
于是实数k的取值范围是.
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【题目】已知,抛物线C:
的焦点到直线l:
的距离为
.
(1)求m的值.
(2)如图,已知抛物线C的动弦的中点M在直线l上,过点M且平行于x轴的直线与抛物线C相交于点N,求
面积的最大值.
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【题目】某市为广泛开展垃圾分类的宣传教育和倡导工作,使市民树立垃圾分类的环保意识,学会垃圾分类的知识,特举办了“垃圾分类知识竞赛".据统计,在为期1个月的活动中,共有两万人次参与网络答题.市文明实践中心随机抽取100名参与该活动的市民,以他们单次答题得分作为样本进行分析,由此得到如图所示的频率分布直方图:
(1)求图中a的值及参与该活动的市民单次挑战得分的平均成绩(同一组中数据用该组区间中点值作代表);
(2)若垃圾分类答题挑战赛得分落在区间之外,则可获得一等奖奖励,其中
,s分别为样本平均数和样本标准差,计算可得
,若某人的答题得分为96分,试判断此人是否获得一等奖;
(3)为扩大本次“垃圾分类知识竞赛”活动的影响力,市文明实践中心再次组织市民组队参场有奖知识竞赛,竞赛共分五轮进行,已知“光速队”与“超能队”五轮的成绩如下表:
成绩 | 第一轮 | 第二轮 | 第三轮 | 第四轮 | 第五轮 |
“光速队” | 93 | 98 | 94 | 95 | 90 |
“超能队” | 93 | 96 | 97 | 94 | 90 |
①分别求“光速队”与“超能队”五轮成绩的平均数和方差;
②以上述数据为依据,你认为"光速队”与“超能队”的现场有奖知识竞赛成绩谁更稳定?
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【题目】已知x与y之间的几组数据如表:
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
y | 1 | m | n | 4 |
如表数据中y的平均值为2.5,若某同学对m赋了三个值分别为1.5,2,2.5,得到三条线性回归直线方程分别为,
,
,对应的相关系数分别为
,
,
,下列结论中错误的是( )
参考公式:线性回归方程中,其中
,
.相关系数
.
A.三条回归直线有共同交点B.相关系数中,最大
C.D.
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【题目】已知正方体,过对角线
作平面
交棱
于点
,交棱
于点
,下列正确的是( )
A.平面分正方体所得两部分的体积相等;
B.四边形一定是平行四边形;
C.平面与平面
不可能垂直;
D.四边形的面积有最大值.
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【题目】现有边长均为1的正方形正五边形正六边形及半径为1的圆各一个,在水平桌面上无滑动滚动一周,它们的中心的运动轨迹长分别为,
,
,
,则( )
A.B.
C.
D.
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【题目】已知是各项均为正数的无穷数列,且满足
,
.
(1)若,
,求a的值;
(2)设数列满足
,其前n项的和为
.
①求证:是等差数列;
②若对于任意的,都存在
,使得
成立.求证:
.
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【题目】随着2022年北京冬奥会的临近,中国冰雪产业快速发展,冰雪运动人数快速上升,冰雪运动市场需求得到释放.如图是2012-2018年中国雪场滑雪人数(单位:万人)与同比增长情况统计图则下面结论中正确的是( ).
A.2012-2018年,中国雪场滑雪人数逐年增加;
B.2013-2015年,中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加;
C.中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人,因此这两年的同比增长率均有提高;
D.2016-2018年,中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%.
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