【题目】已知是各项均为正数的无穷数列,且满足,.
(1)若,,求a的值;
(2)设数列满足,其前n项的和为.
①求证:是等差数列;
②若对于任意的,都存在,使得成立.求证:.
【答案】(1);(2)①证明见解析;②证明见解析.
【解析】
(1)因为,所以此时单调递增,,将,代入,解出,同理将,的值代入可得出答案.
(2)①由题意,,由,得,当成立,当时,可得和,两式相减化简可得,从而可证明.
②由①可得,又存在,使得成立,即,当成立,当时,.
当时,;当时,必为整数,即,要证,只需证即证,因为,只需证明即可.
(1)是各项均为正数的无穷数列,
解:因为,所以此时单调递增,
又
所以令,得,即,
平方整理得.
因为,所以;
同理令,得,即,
平方整理得.因为,所以,因此.
(2)证明:①由题意,,由,得.
当时,,所以是公差为0的等差数列.
当时,因为
所以①,
从而有②.
①-②,得,
化简得.
因为,且数列的各项均为正数,,
所以,从而,因此.
因为,所以.
综上,是公差为d的等差数列.
②因为是公差为d的等差数列,所以.
因为对于任意的,都存在,使得,
所以有,
整理得.
ⅰ.若,则,结论成立.
ⅱ.若,.
当时,.
当时,必为整数,即.
因为,
所以,,所以,
从而.
下证,即证,
从而只要证,
因此要证.
记,则.
记,则,
所以,
从而,
所以.
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【题目】从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:
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(2)用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个,其中重量在的有几个?
(3)在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,写出所有可能的结果,并求重量在和中各有1个的概率.
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(Ⅰ)求实数的值;
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(Ⅰ)若,求抛物线的焦点坐标;
(Ⅱ)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值.
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【题目】(本小题满分12分)已知圆,圆,动圆与圆外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线交于,两点,当圆的半径最长时,求.
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