Question

【题目】如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．

（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；

（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为；

（Ⅱ）设，

由，

，

由在抛物线上，所以，

又，

，，

.

由即

，

所以，，，

所以，的最大值为，此时.

法2：设直线，.

将直线的方程代入椭圆得：，

所以点的纵坐标为.

将直线的方程代入抛物线得：，

所以，解得，因此，

由解得，

所以当时，取到最大值为.

【点晴】

本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数学运算能力，是一道有一定难度的题.